對一般域F，V记為F-向量空間。若F是實數域ℝ，则V稱為實數向量空間；若F是複數域ℂ，则V稱為複數向量空間；若F是有限域，则V稱為有限域向量空間。
最简单的F-向量空間是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w，都有：
u + (v + w) = (u + v) + w，
v + w = w + v，
零元素存在：零元素0满足：对任何的向量元素v，v + 0 = v，
逆元素存在：对任何的向量元素v，它的相反数w = −v就满足v + w = 0。
标量乘法对向量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w.
向量乘法对标量加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v.
标量乘法与标量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。
标量乘法有單位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数v，1v = v。
更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点
P
{\displaystyle P}
都有一个坐标
P
(
x
,
y
)
{\displaystyle P(x,y)}
，并对应着一个向量
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。
同样地，高维的欧几里得空间ℝn也是向量空间的例子。其中的向量表示为
v
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
{\displaystyle v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}
，其中的
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}
都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：
∀
λ
∈
R
,
v
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
∈
R
n
,
w
=
(
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
)
∈
R
n
{\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
，
v
+
w
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
+
(
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
n
)
=
(
a
1
+
b
1
,
a
2
+
b
2
,
⋯
,
a
n
+
b
n
)
{\displaystyle v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})}
λ
v
=
λ
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
=
(
λ
a
1
,
λ
a
2
,
⋯
,
λ
a
n
)
{\displaystyle \lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})}
可以验证这也是一个向量空间。
再考虑所有系数为实数的多项式的集合
R
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {R} [X]}
。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，
R
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {R} [X]}
也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合
C
(
R
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}
也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。
方程组与向量空间
编辑
向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：
3
x
+
2
y
−
z
=
0
{\displaystyle 3x+2y-z=0}
x
+
5
y
+
2
z
=
0
{\displaystyle x+5y+2z=0}
如果
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}
和
(
x
2
,
y
2
,
z
2
)
{\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}
都是解，那么可以验证它们的“和”
(
x
1
+
x
2
,
y
1
+
y
2
,
z
1
+
z
2
)
{\displaystyle (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})}
也是一组解，因为：
3
(
x
1
+
x
2
)
+
2
(
y
1
+
y
2
)
−
(
z
1
+
z
2
)
=
(
3
x
1
+
2
y
1
−
z
1
)
+
(
3
x
2
+
2
y
2
−
z
2
)
=
0
{\displaystyle 3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0}
(
x
1
+
x
2
)
+
5
(
y
1
+
y
2
)
+
2
(
z
1
+
z
2
)
=
(
x
1
+
5
y
1
+
2
z
1
)
+
(
x
2
+
5
y
2
+
2
z
2
)
=
0
{\displaystyle (x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0}
同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。
一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。
对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：
f
″
+
4
x
f
′
+
cos
(
x
)
f
=
0
{\displaystyle f''+4xf'+\cos(x)f=0}
出于和上面类似的理由，方程的两个解
f
1
{\displaystyle f_{1}}
和
f
2
{\displaystyle f_{2}}
的和函数
f
1
+
f
2
{\displaystyle f_{1}+f_{2}}
也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。