第一章公式整理
文章目录
第一章 矢量分析矢量公式坐标系标量场的梯度一、标量场与矢量场二、等值面三、方向导数四、梯度
矢量场的通量和散度一、矢量线二、矢量场的通量三、矢量场的散度四、散度相关公式五、高斯定理
矢量场的环流和旋度一、环流的概念二、矢量场的旋度三、旋度相关公式四.斯托克斯定理
无旋场与无散场一.矢量场的源二.矢量场的分类
拉普拉斯运算与格林定理一、拉普拉斯运算二、格林公式
亥姆霍兹定理
第一章 矢量分析
矢量公式
直角坐标
A
⃗
=
A
x
e
⃗
x
+
A
y
e
⃗
y
+
A
z
e
⃗
z
\vec{A}=A_x\vec{e}_x+A_y\vec{e}_y+A_z\vec{e}_z
A
=Axe
x+Aye
y+Aze
z
A
x
=
A
c
o
s
α
A_x=Acos\alpha
Ax=Acosα
A
y
=
A
c
o
s
β
A_y=Acos\beta
Ay=Acosβ
A
z
=
A
c
o
s
γ
A_z=Acos\gamma
Az=Acosγ
A
⃗
=
A
e
⃗
A
\vec{A}=A\vec{e}_A
A
=Ae
A
e
⃗
A
=
e
⃗
x
c
o
s
α
+
e
⃗
y
c
o
s
β
+
e
⃗
z
c
o
s
γ
\vec{e}_A=\vec{e}_xcos\alpha+\vec{e}_ycos\beta+\vec{e}_zcos\gamma
e
A=e
xcosα+e
ycosβ+e
zcosγ
A
⃗
=
A
(
e
⃗
x
c
o
s
α
+
e
⃗
y
c
o
s
β
+
e
⃗
z
c
o
s
γ
)
\vec{A}=A(\vec{e}_xcos\alpha+\vec{e}_ycos\beta+\vec{e}_zcos\gamma)
A
=A(e
xcosα+e
ycosβ+e
zcosγ)
矢量代换公式
1、
A
⃗
±
B
⃗
=
e
⃗
x
(
A
x
±
B
x
)
+
e
⃗
y
(
A
y
±
B
y
)
+
e
⃗
z
(
A
z
±
B
z
)
\vec{A}\pm\vec{B}=\vec{e}_x(A_x\pm B_x)+\vec{e}_y(A_y\pm B_y)+\vec{e}_z(A_z\pm B_z)
A
±B
=e
x(Ax±Bx)+e
y(Ay±By)+e
z(Az±Bz) 交换律：
A
⃗
+
B
⃗
=
B
⃗
+
A
⃗
\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}
A
+B
=B
+A
结合律：
(
A
⃗
+
B
⃗
)
+
C
⃗
=
A
⃗
+
(
B
⃗
+
C
⃗
)
(\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})
(A
+B
)+C
=A
+(B
+C
)
2、
A
⃗
⋅
B
⃗
=
标
量
=
A
B
c
o
s
θ
=
A
x
B
x
+
A
y
B
y
+
A
z
B
z
\vec{A}\cdot\vec{B}=标量=ABcos\theta=A_x B_x+A_y B_y+A_z B_z
A
⋅B
=标量=ABcosθ=AxBx+AyBy+AzBz 交换律：
A
⃗
⋅
B
⃗
=
B
⃗
⋅
A
⃗
\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{B}\cdot\vec{A}
A
⋅B
=B
⋅A
3、
A
⃗
×
B
⃗
=
矢
量
=
e
⃗
n
A
B
s
i
n
θ
\vec{A}\times \vec{B}=矢量=\vec{e}_nABsin\theta
A
×B
=矢量=e
nABsinθ
A
⃗
×
B
⃗
=
−
B
⃗
×
A
⃗
\vec{A}\times \vec{B}=-\vec{B}\times \vec{A}
A
×B
=−B
×A
(
A
⃗
×
B
⃗
)
z
=
A
x
B
y
−
A
y
B
x
(\vec{A} \times \vec{B})_z=A_x B_y - A_y B_x
(A
×B
)z=AxBy−AyBx
(
A
⃗
×
B
⃗
)
x
=
A
y
B
z
−
A
z
B
y
(\vec{A} \times \vec{B})_x=A_y B_z - A_z B_y
(A
×B
)x=AyBz−AzBy
(
A
⃗
×
B
⃗
)
y
=
A
z
B
x
−
A
x
B
z
(\vec{A} \times\vec{B})_y=A_z B_x - A_x B_z
(A
×B
)y=AzBx−AxBz
A
⃗
×
B
⃗
=
e
⃗
x
(
A
y
B
z
−
A
z
B
y
)
+
e
⃗
y
(
A
z
B
x
−
A
x
B
z
)
+
e
⃗
z
(
A
x
B
y
−
A
y
B
x
)
\vec{A}\times \vec{B}=\vec{e}_x(A_y B_z - A_z B_y)+\vec{e}_y(A_z B_x - A_x B_z)+\vec{e}_z(A_x B_y - A_y B_x)
A
×B
=e
x(AyBz−AzBy)+e
y(AzBx−AxBz)+e
z(AxBy−AyBx)
A
⃗
×
B
⃗
=
∣
e
⃗
x
e
⃗
y
e
⃗
z
A
x
A
y
A
z
B
x
B
y
B
z
∣
\vec{A}\times \vec{B}=\left| \begin{matrix} {\vec{e}_x} & {\vec{e}_y} & {\vec{e}_z}\\ {A_x} & {A_y} & {A_z}\\ {B_x} & {B_y} & {B_z} \end{matrix} \right|
A
×B
=∣∣∣∣∣∣e
xAxBxe
yAyBye
zAzBz∣∣∣∣∣∣
A
⃗
⋅
(
A
⃗
×
B
⃗
)
=
0
\vec{A}\cdot(\vec{A} \times \vec{B})=0
A
⋅(A
×B
)=0
4、
(
A
⃗
+
B
⃗
)
⋅
C
⃗
=
A
⃗
⋅
C
⃗
+
B
⃗
⋅
C
⃗
(\vec{A}+\vec{B})\cdot\vec{C}=\vec{A}\cdot\vec{C}+\vec{B}\cdot\vec{C}
(A
+B
)⋅C
=A
⋅C
+B
⋅C
(
A
⃗
+
B
⃗
)
×
C
⃗
=
A
⃗
×
C
⃗
+
B
⃗
×
C
⃗
(\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}=\vec{A}\times\vec{C}+\vec{B}\times\vec{C}
(A
+B
)×C
=A
×C
+B
×C
A
⃗
⋅
(
B
⃗
×
C
⃗
)
=
(
A
⃗
×
B
⃗
)
⋅
C
⃗
=
(
A
⃗
×
C
⃗
)
⋅
B
⃗
\vec{A}\cdot(\vec{B}\times \vec{C})=(\vec{A} \times \vec{B})\cdot\vec{C}=(\vec{A} \times \vec{C})\cdot\vec{B}
A
⋅(B
×C
)=(A
×B
)⋅C
=(A
×C
)⋅B
A
⃗
×
(
B
⃗
×
C
⃗
)
=
B
⃗
(
A
⃗
⋅
C
⃗
)
−
C
⃗
(
A
⃗
⋅
B
⃗
)
\vec{A}\times(\vec{B} \times \vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})
A
×(B
×C
)=B
(A
⋅C
)−C
(A
⋅B
)
坐标系
三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。
1、直角坐标系 2.圆柱坐标系 3.球面坐标系
4、各坐标系之间的关系
标量场的梯度
一、标量场与矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。
如果物理量是标量，称该场为标量场。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 静态标量场和矢量场可分别表示为：u(x,y,z),
F
⃗
(
x
,
y
,
z
)
\vec{F}(x,y,z)
F
(x,y,z) 时变标量场和矢量场可分别表示为：u(x,y,z,t),
F
⃗
(
x
,
y
,
z
,
t
)
\vec{F}(x,y,z,t)
F
(x,y,z,t)
二、等值面
等值面: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。 等值面方程：u(x,y,z)=C 等值面的特点：
常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。
三、方向导数
概念：
∂
u
∂
l
∣
M
0
=
lim
Δ
l
→
0
u
(
M
)
−
u
(
M
0
)
Δ
l
=
∂
u
∂
x
c
o
s
α
+
∂
u
∂
y
c
o
s
β
+
∂
u
∂
z
c
o
s
γ
\frac{\partial u}{\partial l}|_{M_0}=\lim\limits_{\Delta l\rightarrow 0} \frac{u(M)-u(M_0)}{\Delta l}=\frac{\partial u}{\partial x}cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}cos\gamma
∂l∂u∣M0=Δl→0limΔlu(M)−u(M0)=∂x∂ucosα+∂y∂ucosβ+∂z∂ucosγ
c
o
s
α
,
c
o
s
β
,
c
o
s
γ
cos\alpha,cos\beta,cos\gamma
cosα,cosβ,cosγ—
Δ
l
⃗
\Delta \vec{l}
Δl
的方向余弦 意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率
∂
u
∂
l
\frac{\partial u}{\partial l}
∂l∂u>0—u(M)沿
l
⃗
\vec{l}
l
方向增加
∂
u
∂
l
\frac{\partial u}{\partial l}
∂l∂u<0—u(M)沿
l
⃗
\vec{l}
l
方向减小
∂
u
∂
l
\frac{\partial u}{\partial l}
∂l∂u=0—u(M)沿
l
⃗
\vec{l}
l
方向无变化
特点：方向性导数既与点M0有关，也与方向有关。
四、梯度
概念：
Δ
u
=
e
⃗
l
∂
u
∂
l
∣
m
a
x
\Delta u=\vec{e}_l \frac{\partial u}{\partial l}|_{max}
Δu=e
l∂l∂u∣max 其中：
e
⃗
l
\vec{e}_l
e
l—
∂
u
∂
l
\frac{\partial u}{\partial l}
∂l∂u取最大值的方向 意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向
方向导数
∂
u
∂
l
=
(
e
⃗
x
∂
u
∂
x
+
e
⃗
y
∂
u
∂
y
+
e
⃗
z
∂
u
∂
z
)
⋅
(
e
⃗
x
c
o
s
α
+
e
⃗
y
c
o
s
β
+
e
⃗
z
c
o
s
γ
)
\frac{\partial u}{\partial l}=(\vec{e}_x\frac{\partial u}{\partial x}+\vec{e}_y\frac{\partial u}{\partial y}+\vec{e}_z\frac{\partial u}{\partial z})\cdot(\vec{e}_xcos\alpha+\vec{e}_ycos\beta+\vec{e}_zcos\gamma)
∂l∂u=(e
x∂x∂u+e
y∂y∂u+e
z∂z∂u)⋅(e
xcosα+e
ycosβ+e
zcosγ) 注：左边是梯度，表示方向导数最大的方向，右边是l的方向，两者相乘即最大变化率在l方向上的投影，即l的方向导数 令
g
r
a
d
grad
grad
u
u
u=
e
⃗
x
∂
u
∂
x
+
e
⃗
y
∂
u
∂
y
+
e
⃗
z
∂
u
∂
z
\vec{e}_x\frac{\partial u}{\partial x}+\vec{e}_y\frac{\partial u}{\partial y}+\vec{e}_z\frac{\partial u}{\partial z}
e
x∂x∂u+e
y∂y∂u+e
z∂z∂u
∇
\nabla
∇=
e
⃗
x
∂
∂
x
+
e
⃗
y
∂
∂
y
+
e
⃗
z
∂
∂
z
\vec{e}_x\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e}_y\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e}_z\frac{\partial}{\partial z}
e
x∂x∂+e
y∂y∂+e
z∂z∂
∇
u
\nabla u
∇u=
e
⃗
x
∂
u
∂
x
+
e
⃗
y
∂
u
∂
y
+
e
⃗
z
∂
u
∂
z
\vec{e}_x\frac{\partial u}{\partial x}+\vec{e}_y\frac{\partial u}{\partial y}+\vec{e}_z\frac{\partial u}{\partial z}
e
x∂x∂u+e
y∂y∂u+e
z∂z∂u
∇
\nabla
∇是算符，单独存在不具有任何意义，且只能放在左边，T
∇
\nabla
∇仍然是个算符
直角面坐标系：
∇
u
\nabla u
∇u=
e
⃗
x
∂
u
∂
x
+
e
⃗
y
∂
u
∂
y
+
e
⃗
z
∂
u
∂
z
\vec{e}_x\frac{\partial u}{\partial x}+\vec{e}_y\frac{\partial u}{\partial y}+\vec{e}_z\frac{\partial u}{\partial z}
e
x∂x∂u+e
y∂y∂u+e
z∂z∂u 圆柱面坐标系：
∇
u
\nabla u
∇u=
e
⃗
ρ
∂
u
∂
ρ
+
e
⃗
ϕ
1
ρ
∂
u
∂
ϕ
+
e
⃗
z
∂
u
∂
z
\vec{e}_{\rho}\frac{\partial u}{\partial \rho}+\vec{e}_{\phi}\frac{1}{\rho}\frac{\partial u}{\partial \phi}+\vec{e}_z\frac{\partial u}{\partial z}
e
ρ∂ρ∂u+e
ϕρ1∂ϕ∂u+e
z∂z∂u 球面坐标系：
∇
u
\nabla u
∇u=
e
⃗
r
∂
u
∂
r
+
e
⃗
θ
1
r
∂
u
∂
θ
+
e
⃗
ϕ
1
r
s
i
n
θ
∂
u
∂
ϕ
\vec{e}_r\frac{\partial u}{\partial r}+\vec{e}_{\theta}\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}+\vec{e}_{\phi}\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial u}{\partial {\phi}}
e
r∂r∂u+e
θr1∂θ∂u+e
ϕrsinθ1∂ϕ∂u
矢量场的通量和散度
一、矢量线
概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场的方向。 意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。
我们试图通过矢量箭头描述场（why？），（because）每一矢量提供场的强度和方向，其次，通过垂直于线的单位面积的线数来描述场强。
矢量线方程：
d
x
F
x
x
,
y
,
z
=
d
y
F
y
x
,
y
,
z
=
d
z
F
z
x
,
y
,
z
\frac{dx}{F_x{x,y,z}}=\frac{dy}{F_y{x,y,z}}=\frac{dz}{F_z{x,y,z}}
Fxx,y,zdx=Fyx,y,zdy=Fzx,y,zdz
二、矢量场的通量
通量是描述单位面积上流入（流出）的量
通
量
=
（
平
均
法
向
分
量
）
⋅
（
面
的
面
积
）
通量=（平均法向分量）\cdot（面的面积）
通量=（平均法向分量）⋅（面的面积）
通量的概念：
φ
=
∫
d
φ
=
∫
s
F
⃗
⋅
d
S
⃗
=
∫
s
F
⃗
⋅
e
⃗
n
d
S
\varphi=\int d\varphi=\int_s \vec{F}\cdot d\vec{S}=\int_s \vec{F}\cdot \vec{e}_n d{S}
φ=∫dφ=∫sF
⋅dS
=∫sF
⋅e
ndS 其中：
d
S
⃗
=
e
⃗
n
d
S
d\vec{S}=\vec{e}_n d{S}
dS
=e
ndS—面积元矢量
e
⃗
n
\vec{e}_n
e
n—面积元的法向单位矢量
d
φ
=
F
⃗
⋅
e
⃗
n
d
S
d\varphi=\vec{F}\cdot \vec{e}_n d{S}
dφ=F
⋅e
ndS—穿过面积元的
d
S
⃗
d\vec{S}
dS
通量 如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：
φ
=
∮
s
F
⃗
⋅
d
S
⃗
=
∮
s
F
⃗
⋅
e
⃗
n
d
S
\varphi=\oint_s \vec{F}\cdot d\vec{S}=\oint_s \vec{F}\cdot \vec{e}_n d{S}
φ=∮sF
⋅dS
=∮sF
⋅e
ndS
通量的物理意义: 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。
三、矢量场的散度
定义：为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：
∇
⋅
F
(
x
,
y
,
z
)
=
lim
Δ
v
→
0
∮
s
F
⃗
(
x
,
y
,
z
)
⋅
d
S
⃗
Δ
v
\nabla\cdot F(x,y,z)=\lim\limits_{\Delta v \rightarrow 0}\frac{\oint_s \vec{F}(x,y,z)\cdot d\vec{S}}{\Delta v}
∇⋅F(x,y,z)=Δv→0limΔv∮sF
(x,y,z)⋅dS
称为矢量场的散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。 散度表达式的推导见书P18-19 最后推得 用
d
i
v
div
div表示散度
d
i
v
div
div
F
⃗
\vec{F}
F
=
∂
F
x
∂
x
+
∂
F
y
∂
y
+
∂
F
z
∂
z
\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}
∂x∂Fx+∂y∂Fy+∂z∂Fz
∇
⋅
F
⃗
\nabla\cdot \vec{F}
∇⋅F
=
(
e
⃗
x
∂
∂
x
+
e
⃗
y
∂
∂
y
+
e
⃗
z
∂
∂
z
)
⋅
(
e
⃗
x
F
x
+
e
⃗
y
F
y
+
e
⃗
z
F
z
)
(\vec{e}_x\frac{\partial }{\partial x}+\vec{e}_y\frac{\partial }{\partial y}+\vec{e}_z\frac{\partial }{\partial z})\cdot(\vec{e}_xF_x+\vec{e}_yF_y+\vec{e}_zF_z)
(e
x∂x∂+e
y∂y∂+e
z∂z∂)⋅(e
xFx+e
yFy+e
zFz)=
∂
F
x
∂
x
+
∂
F
y
∂
y
+
∂
F
z
∂
z
\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}
∂x∂Fx+∂y∂Fy+∂z∂Fz=
d
i
v
div
div
F
⃗
\vec{F}
F
散度的其他表达式： 直角坐标系 ：
∇
⋅
F
⃗
\nabla\cdot \vec{F}
∇⋅F
=
∂
F
x
∂
x
+
∂
F
y
∂
y
+
∂
F
z
∂
z
\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}
∂x∂Fx+∂y∂Fy+∂z∂Fz
柱面坐标系：
∇
⋅
F
\nabla\cdot F
∇⋅F=
1
ρ
∂
∂
ρ
(
ρ
F
ρ
)
+
1
ρ
∂
F
ϕ
∂
ϕ
+
∂
F
z
∂
z
\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}(\rho F_\rho)+\frac{1}{\rho}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}+\frac{\partial F_z}{\partial z}
ρ1∂ρ∂(ρFρ)+ρ1∂ϕ∂Fϕ+∂z∂Fz
球面坐标系：
∇
⋅
F
\nabla\cdot F
∇⋅F=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
F
r
)
+
1
r
s
i
n
θ
∂
∂
θ
(
s
i
n
θ
F
θ
)
+
1
r
s
i
n
θ
∂
F
ϕ
∂
ϕ
\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2 F_r)+\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}(sin\theta F_\theta)+\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}
r21∂r∂(r2Fr)+rsinθ1∂θ∂(sinθFθ)+rsinθ1∂ϕ∂Fϕ
四、散度相关公式
1.
∇
⋅
C
⃗
=
0
(
C
⃗
为
常
矢
量
)
\nabla\cdot \vec{C}=0(\vec{C}为常矢量)
∇⋅C
=0(C
为常矢量) 2.
∇
⋅
(
C
⃗
f
)
=
C
⃗
⋅
∇
f
\nabla\cdot (\vec{C}f)=\vec{C}\cdot \nabla f
∇⋅(C
f)=C
⋅∇f 3.
∇
⋅
(
k
F
⃗
)
=
k
∇
⋅
F
⃗
(
k
为
常
量
)
\nabla\cdot (k\vec{F})=k\nabla\cdot\vec{F}(k为常量)
∇⋅(kF
)=k∇⋅F
(k为常量) 4.
∇
⋅
(
f
F
⃗
)
=
f
∇
⋅
F
⃗
+
F
⃗
⋅
∇
f
\nabla\cdot (f\vec{F})=f\nabla\cdot \vec{F}+\vec{F}\cdot\nabla f
∇⋅(fF
)=f∇⋅F
+F
⋅∇f 5.
∇
⋅
(
F
⃗
+
G
⃗
)
=
∇
⋅
F
⃗
+
∇
⋅
G
⃗
\nabla\cdot (\vec{F}+\vec{G})=\nabla\cdot \vec{F}+\nabla\cdot \vec{G}
∇⋅(F
+G
)=∇⋅F
+∇⋅G
五、高斯定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理（重要定理）：
∫
V
∇
⋅
F
⃗
d
V
=
∮
s
F
⃗
⋅
d
S
⃗
\int_V \nabla\cdot \vec{F}dV=\oint_s \vec{F}\cdot d\vec{S}
∫V∇⋅F
dV=∮sF
⋅dS
证明见书P19-20 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。
矢量场的环流和旋度
不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：
∮
C
B
⃗
(
x
,
y
,
z
)
⋅
d
l
⃗
=
μ
0
I
=
μ
0
∫
S
J
⃗
(
x
,
y
,
z
)
⋅
d
S
⃗
\oint_C \vec{B}(x,y,z)\cdot d\vec{l}=\mu_0 I=\mu_0\int_S \vec{J}(x,y,z)\cdot d\vec{S}
∮CB
(x,y,z)⋅dl
=μ0I=μ0∫SJ
(x,y,z)⋅dS
上式建立了磁场的环流与电流的关系。
一、环流的概念
环量用流体的速度场举例，就是液体的净流速乘以该管周长的这个量
环
流
=
（
平
均
切
向
分
量
）
⋅
（
环
形
距
离
）
环流=（平均切向分量）\cdot（环形距离）
环流=（平均切向分量）⋅（环形距离）
矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即
Γ
=
∮
C
F
⃗
(
x
,
y
,
z
)
⋅
d
l
⃗
\Gamma=\oint_C \vec{F}(x,y,z)\cdot d\vec{l}
Γ=∮CF
(x,y,z)⋅dl
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。
二、矢量场的旋度
矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。 (1)环流面密度 过点M 作一微小曲面
Δ
\Delta
ΔS，它的边界曲线记为C，曲面的法线 方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当
Δ
\Delta
ΔS
→
\rightarrow
→ 0时,极限
r
o
t
n
F
⃗
=
lim
Δ
S
→
0
1
Δ
S
∮
C
F
⃗
⋅
d
l
⃗
rot_n \vec{F}=\lim\limits_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{1}{\Delta S}\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{l}
rotnF
=ΔS→0limΔS1∮CF
⋅dl
称为矢量场在点M 处沿方向n的环流面密度。 特点：其值与点M 处的方向n有关。 直角坐标系中
r
o
t
x
、
r
o
t
y
、
r
o
t
z
rot_x、rot_y 、rot_z
rotx、roty、rotz的表达式 推导过程见书P22-23 最后得到
r
o
t
x
F
⃗
=
∂
F
z
∂
y
−
∂
F
y
∂
z
rot_x \vec{F}=\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}
rotxF
=∂y∂Fz−∂z∂Fy
r
o
t
y
F
⃗
=
∂
F
x
∂
z
−
∂
F
z
∂
x
rot_y \vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}
rotyF
=∂z∂Fx−∂x∂Fz
r
o
t
z
F
⃗
=
∂
F
y
∂
x
−
∂
F
x
∂
y
rot_z \vec{F}=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}
rotzF
=∂x∂Fy−∂y∂Fx (2)矢量场的旋度 概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面 密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即
∇
×
F
⃗
=
e
⃗
n
[
r
o
t
n
F
⃗
]
M
a
x
\nabla\times \vec{F}=\vec{e}_n[rot_n\vec{F}]_{Max}
∇×F
=e
n[rotnF
]Max 物理意义：旋涡源密度矢量。 性质：
r
o
t
n
F
⃗
=
e
⃗
n
⋅
∇
×
F
⃗
rot_n\vec{F}=\vec{e}_n\cdot \nabla\times \vec{F}
rotnF
=e
n⋅∇×F
旋度的其他表达式： 直角坐标系：
∇
×
F
⃗
=
e
⃗
x
(
∂
F
z
∂
y
−
∂
F
y
∂
z
)
+
e
⃗
y
(
∂
F
x
∂
z
−
∂
F
z
∂
x
)
+
e
⃗
z
(
∂
F
y
∂
x
−
∂
F
x
∂
y
)
=
∣
e
⃗
x
e
⃗
y
e
⃗
z
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
F
x
F
y
F
z
∣
\nabla\times \vec{F}=\vec{e}_x(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})+\vec{e}_y(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})+\vec{e}_z(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})=\left| \begin{matrix} {\vec{e}_x} & {\vec{e}_y} & {\vec{e}_z}\\ {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}}\\ {F_x} & {F_y} & {F_z} \end{matrix} \right|
∇×F
=e
x(∂y∂Fz−∂z∂Fy)+e
y(∂z∂Fx−∂x∂Fz)+e
z(∂x∂Fy−∂y∂Fx)=∣∣∣∣∣∣e
x∂x∂Fxe
y∂y∂Fye
z∂z∂Fz∣∣∣∣∣∣ 圆柱坐标系：
∇
×
F
⃗
=
1
ρ
∣
e
⃗
ρ
ρ
e
⃗
ϕ
e
⃗
z
∂
∂
ρ
∂
∂
ϕ
∂
∂
z
F
ρ
ρ
F
ϕ
F
z
∣
\nabla\times \vec{F}=\frac{1}{\rho}\left| \begin{matrix} {\vec{e}_{\rho}} & {\rho\vec{e}_{\phi}} & {\vec{e}_z}\\ {\frac{\partial}{\partial \rho}} & {\frac{\partial}{\partial \phi}} & {\frac{\partial}{\partial z}}\\ {F_\rho} & {\rho F_\phi} & {F_z} \end{matrix} \right|
∇×F
=ρ1∣∣∣∣∣∣e
ρ∂ρ∂Fρρe
ϕ∂ϕ∂ρFϕe
z∂z∂Fz∣∣∣∣∣∣ 球坐标系：
∇
×
F
⃗
=
1
r
2
s
i
n
θ
∣
e
⃗
r
r
e
⃗
θ
r
s
i
n
θ
e
⃗
ϕ
∂
∂
r
∂
∂
θ
∂
∂
ϕ
F
r
r
F
θ
r
s
i
n
θ
F
ϕ
∣
\nabla\times \vec{F}=\frac{1}{r^2sin\theta}\left| \begin{matrix} {\vec{e}_{r}} & {r\vec{e}_{\theta}} & {rsin\theta \vec{e}_\phi}\\ {\frac{\partial}{\partial r}} & {\frac{\partial}{\partial \theta}} & {\frac{\partial}{\partial \phi}}\\ {F_r} & {r F_\theta} & {rsin\theta F_\phi} \end{matrix} \right|
∇×F
=r2sinθ1∣∣∣∣∣∣e
r∂r∂Frre
θ∂θ∂rFθrsinθe
ϕ∂ϕ∂rsinθFϕ∣∣∣∣∣∣
三、旋度相关公式
1.
∇
C
⃗
=
0
(
C
⃗
为
常
矢
量
)
\nabla \vec{C}=0(\vec{C}为常矢量)
∇C
=0(C
为常矢量) 2.
∇
×
(
C
⃗
f
)
=
∇
f
×
C
⃗
\nabla\times (\vec{C}f)=\nabla f\times\vec{C}
∇×(C
f)=∇f×C
3.
∇
×
(
f
F
⃗
)
=
f
∇
×
C
⃗
+
∇
f
×
C
⃗
\nabla\times (f\vec{F})=f\nabla\times\vec{C}+\nabla f\times\vec{C}
∇×(fF
)=f∇×C
+∇f×C
4.
∇
×
(
F
⃗
+
G
⃗
)
=
∇
×
F
⃗
+
∇
×
G
⃗
\nabla\times (\vec{F}+\vec{G})=\nabla\times \vec{F}+\nabla\times \vec{G}
∇×(F
+G
)=∇×F
+∇×G
5.
∇
⋅
(
F
⃗
×
G
⃗
)
=
G
⃗
⋅
∇
×
F
⃗
+
F
⃗
⋅
∇
×
G
⃗
\nabla\cdot (\vec{F}\times\vec{G})=\vec{G}\cdot\nabla\times \vec{F}+\vec{F}\cdot\nabla\times \vec{G}
∇⋅(F
×G
)=G
⋅∇×F
+F
⋅∇×G
6.
∇
⋅
(
∇
×
F
⃗
)
=
0
;
\nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0;
∇⋅(∇×F
)=0; 7.
∇
×
(
∇
u
)
=
0
;
\nabla\times(\nabla u)=0;
∇×(∇u)=0;
四.斯托克斯定理
从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即
∮
C
F
⃗
⋅
d
l
⃗
=
∫
S
∇
×
F
⃗
⋅
d
S
⃗
\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{l}=\int_S \nabla\times\vec{F}\cdot d\vec{S}
∮CF
⋅dl
=∫S∇×F
⋅dS
推导见书P24-25 Stokes定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。
散度和旋度的区别
无旋场与无散场
一.矢量场的源
散度源： 是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度； 旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。
二.矢量场的分类
(1)无旋场 仅有散度源而无旋度源的矢量场,
∇
×
F
⃗
=
0
\nabla\times\vec{F}=0
∇×F
=0 性质：
∮
C
F
⃗
⋅
d
l
⃗
=
0
\oint_C \vec{F}\cdot d\vec{l}=0
∮CF
⋅dl
=0,线积分与路径无关，是保守场 无旋场可以用标量场的梯度表示为
F
⃗
=
−
∇
u
\vec{F}=-\nabla u
F
=−∇u (
∇
×
F
⃗
=
−
∇
×
(
∇
u
)
=
0
\nabla\times\vec{F}=-\nabla\times(\nabla u)=0
∇×F
=−∇×(∇u)=0)
如：静电场
∇
×
E
⃗
=
0
\nabla\times\vec{E}=0
∇×E
=0，
E
⃗
=
−
∇
φ
\vec{E}=-\nabla \varphi
E
=−∇φ，静电场是无旋场 (2)无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场，即
∇
⋅
F
⃗
=
0
\nabla\cdot\vec{F}=0
∇⋅F
=0 性质：
∮
s
F
⃗
⋅
d
S
⃗
=
0
\oint_s \vec{F}\cdot d\vec{S}=0
∮sF
⋅dS
=0 无散场可以表示为另一个矢量场的旋度
F
⃗
=
∇
×
A
⃗
\vec{F}=\nabla\times \vec{A}
F
=∇×A
(
∇
⋅
F
⃗
=
∇
⋅
(
∇
×
A
⃗
)
=
0
\nabla\cdot\vec{F}=\nabla\cdot(\nabla\times \vec{A})=0
∇⋅F
=∇⋅(∇×A
)=0)
如：恒定磁场，
∇
⋅
B
⃗
=
0
\nabla\cdot\vec{B}=0
∇⋅B
=0，
B
⃗
=
∇
×
A
⃗
\vec{B}=\nabla\times \vec{A}
B
=∇×A
，静磁场是无散场 (3)无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）
∇
×
F
⃗
=
0
\nabla\times\vec{F}=0
∇×F
=0
→
\rightarrow
→
F
⃗
=
−
∇
u
\vec{F}=-\nabla u
F
=−∇u
∇
⋅
F
⃗
=
0
\nabla\cdot\vec{F}=0
∇⋅F
=0
→
\rightarrow
→
∇
⋅
(
−
∇
u
)
=
0
\nabla\cdot(-\nabla u)=0
∇⋅(−∇u)=0 得
∇
2
u
=
0
\nabla^2u=0
∇2u=0
(4)有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分
拉普拉斯运算与格林定理
一、拉普拉斯运算
标量拉普拉斯运算
∇
2
u
\nabla^2u
∇2u 概念：
∇
⋅
(
∇
u
)
=
∇
2
u
\nabla\cdot(\nabla u)=\nabla^2u
∇⋅(∇u)=∇2u
∇
2
\nabla^2
∇2—拉普拉斯算符 计算公式： 直角坐标系：
∇
2
u
=
∂
2
u
∂
x
2
+
∂
2
u
∂
y
2
+
∂
2
u
∂
z
2
\nabla^2u=\frac{\partial^2 u }{\partial x^2 }+\frac{\partial^2 u }{\partial y^2}+\frac{\partial^2u }{\partial z^2}
∇2u=∂x2∂2u+∂y2∂2u+∂z2∂2u 圆柱坐标系：
∇
2
u
=
1
ρ
∂
∂
ρ
(
ρ
∂
∂
ρ
)
+
1
ρ
2
∂
2
u
∂
ϕ
2
+
∂
2
u
∂
z
2
\nabla^2u=\frac{1}{\rho}\frac{\partial }{\partial \rho}(\rho\frac{\partial }{\partial \rho})+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
∇2u=ρ1∂ρ∂(ρ∂ρ∂)+ρ21∂ϕ2∂2u+∂z2∂2u 球坐标系：
∇
2
u
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
∂
r
)
+
1
r
2
s
i
n
θ
∂
∂
θ
(
s
i
n
θ
∂
u
∂
θ
)
+
1
r
2
s
i
n
θ
2
∂
2
u
∂
ϕ
2
\nabla^2u=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2\frac{\partial }{\partial r })+\frac{1}{r^2sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin\theta\frac{\partial u}{\partial \theta})+\frac{1}{r^2sin\theta^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}
∇2u=r21∂r∂(r2∂r∂)+r2sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂u)+r2sinθ21∂ϕ2∂2u
矢量拉普拉斯运算
∇
2
F
⃗
\nabla^2\vec{F}
∇2F
概念：
∇
2
F
⃗
=
∇
(
∇
⋅
F
⃗
)
−
∇
×
(
∇
×
F
⃗
)
\nabla^2\vec{F}=\nabla(\nabla\cdot\vec{F})-\nabla\times(\nabla\times\vec{F})
∇2F
=∇(∇⋅F
)−∇×(∇×F
) 直角坐标系中：
∇
2
F
⃗
=
e
⃗
x
∇
2
F
x
+
e
⃗
y
∇
2
F
y
+
e
⃗
z
∇
2
F
z
\nabla^2\vec{F}=\vec{e}_x\nabla^2 F_x+\vec{e}_y\nabla^2 F_y+\vec{e}_z\nabla^2 F_z
∇2F
=e
x∇2Fx+e
y∇2Fy+e
z∇2Fz,即
(
∇
2
F
⃗
)
i
=
∇
2
F
i
(\nabla^2 \vec{F})i=\nabla^2 F_i
(∇2F
)i=∇2Fi 在非直角分量中：
(
∇
2
F
⃗
)
i
≠
∇
2
F
i
(\nabla^2 \vec{F})_i\neq\nabla^2 F_i
(∇2F
)i̸=∇2Fi
二、格林公式
设任意两个标量场 ，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场满足下列等式。
∫
V
(
∇
φ
⋅
∇
ψ
+
φ
∇
2
ψ
)
d
V
=
∮
S
φ
∂
ψ
∂
n
d
S
\int_V(\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\nabla^2\psi)dV=\oint_S\varphi\frac{\partial\psi}{\partial n}dS
∫V(∇φ⋅∇ψ+φ∇2ψ)dV=∮Sφ∂n∂ψdS 式中S 为包围V 的闭合曲面，
∂
ψ
∂
n
\frac{\partial\psi}{\partial n}
∂n∂ψ为标量场在 S 表面的外法线
e
n
e_n
en方向上的偏导数 根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成
∫
V
(
∇
φ
⋅
∇
ψ
+
φ
∇
2
ψ
)
d
V
=
∮
S
φ
∇
ψ
⋅
d
S
⃗
\int_V(\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\nabla^2\psi)dV=\oint_S\varphi\nabla\psi \cdot d\vec{S}
∫V(∇φ⋅∇ψ+φ∇2ψ)dV=∮Sφ∇ψ⋅dS
以上两式称为标量第一格林定理。
推导过程： 由高斯定理
∫
V
∇
⋅
F
⃗
d
V
=
∮
s
F
⃗
⋅
d
S
⃗
\int_V \nabla\cdot \vec{F}dV=\oint_s \vec{F}\cdot d\vec{S}
∫V∇⋅F
dV=∮sF
⋅dS
令
F
⃗
=
φ
∇
ψ
\vec{F}=\varphi\nabla\psi
F
=φ∇ψ 得到
∫
V
∇
⋅
F
⃗
d
V
=
∫
V
∇
⋅
(
φ
∇
ψ
)
d
V
\int_V \nabla\cdot \vec{F}dV=\int_V \nabla\cdot (\varphi\nabla\psi) dV
∫V∇⋅F
dV=∫V∇⋅(φ∇ψ)dV
由之前的公式 所以
∇
⋅
(
φ
∇
ψ
)
=
φ
∇
2
ψ
+
∇
ψ
⋅
∇
φ
\nabla\cdot (\varphi\nabla\psi)=\varphi\nabla^2\psi+\nabla\psi\cdot\nabla\varphi
∇⋅(φ∇ψ)=φ∇2ψ+∇ψ⋅∇φ，
φ
∇
ψ
⋅
e
⃗
n
=
φ
∂
ψ
∂
n
\varphi\nabla\psi\cdot \vec{e}_n=\varphi\frac{\partial \psi}{\partial n}
φ∇ψ⋅e
n=φ∂n∂ψ 即得到格林第一恒等式
∫
V
(
∇
φ
⋅
∇
ψ
+
φ
∇
2
ψ
)
d
V
=
∮
S
φ
∂
ψ
∂
n
d
S
\int_V(\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\nabla^2\psi)dV=\oint_S\varphi\frac{\partial\psi}{\partial n}dS
∫V(∇φ⋅∇ψ+φ∇2ψ)dV=∮Sφ∂n∂ψdS
将
φ
\varphi
φ和
ψ
\psi
ψ对调可得
∫
V
(
∇
ψ
⋅
∇
φ
+
ψ
∇
2
φ
)
d
V
=
∮
S
ψ
∂
φ
∂
n
d
S
\int_V(\nabla\psi\cdot\nabla\varphi+\psi\nabla^2\varphi)dV=\oint_S\psi\frac{\partial\varphi}{\partial n}dS
∫V(∇ψ⋅∇φ+ψ∇2φ)dV=∮Sψ∂n∂φdS
和上面两式相减 得格林第二恒等式
∫
V
(
φ
∇
2
ψ
−
ψ
∇
2
φ
)
d
V
=
∮
S
(
φ
∂
ψ
∂
n
−
ψ
∂
φ
∂
n
)
d
S
\int_V(\varphi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\varphi)dV=\oint_S(\varphi\frac{\partial\psi}{\partial n}-\psi\frac{\partial\varphi}{\partial n})dS
∫V(φ∇2ψ−ψ∇2φ)dV=∮S(φ∂n∂ψ−ψ∂n∂φ)dS
格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。 此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。
亥姆霍兹定理
若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为
F
⃗
(
r
)
=
−
∇
u
(
r
⃗
)
+
∇
×
A
⃗
(
r
⃗
)
\vec{F}(r)=-\nabla u(\vec{r})+\nabla \times\vec{A}(\vec{r})
F
(r)=−∇u(r
)+∇×A
(r
) 式中
u
(
r
⃗
)
=
1
4
π
∫
V
∇
′
⋅
F
⃗
(
r
′
⃗
)
∣
r
⃗
−
r
′
⃗
∣
−
1
4
π
∮
S
e
⃗
′
n
⋅
F
⃗
(
r
′
⃗
)
∣
r
⃗
−
r
′
⃗
∣
d
S
′
u(\vec{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{\nabla\prime\cdot\vec{F}(\vec{r\prime})}{|\vec{r}-\vec{r\prime}|}-\frac{1}{4\pi}\oint_S\frac{\vec{e}\prime_n\cdot \vec{F}(\vec{r\prime})}{|\vec{r}-\vec{r\prime}|}dS\prime
u(r
)=4π1∫V∣r
−r′
∣∇′⋅F
(r′
)−4π1∮S∣r
−r′
∣e
′n⋅F
(r′
)dS′
A
⃗
(
r
⃗
)
=
1
4
π
∫
V
∇
′
×
F
⃗
(
r
′
⃗
)
∣
r
⃗
−
r
′
⃗
∣
−
1
4
π
∮
S
e
⃗
′
n
×
F
⃗
(
r
′
⃗
)
∣
r
⃗
−
r
′
⃗
∣
d
S
′
\vec{A}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V\frac{\nabla\prime\times\vec{F}(\vec{r\prime})}{|\vec{r}-\vec{r\prime}|}-\frac{1}{4\pi}\oint_S\frac{\vec{e}\prime_n\times \vec{F}(\vec{r\prime})}{|\vec{r}-\vec{r\prime}|}dS\prime
A
(r
)=4π1∫V∣r
−r′
∣∇′×F
(r′
)−4π1∮S∣r
−r′
∣e
′n×F
(r′
)dS′
亥姆霍兹定理说明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。